三つの数の最大公約数の求め方
最大公約数（GCD、Greatest Common Divisor）は、与えられた数の中で、全ての数を割り切ることができる最も大きな数を指します。三つの数の最大公約数を求める方法は、二つの数の場合と基本的に同じですが、さらに一歩進めて三つの数に適用することになります。本記事では、三つの数の最大公約数を求める方法について、詳細に解説します。
最大公約数とは？
最大公約数とは、二つ以上の数が共通して持つ約数の中で、最も大きな約数を意味します。例えば、数「12」と「18」の最大公約数を求めると、12と18の共通の約数は「1」「2」「3」「6」があり、その中で最も大きな「6」が最大公約数となります。
三つの数の最大公約数を求める方法
三つの数の最大公約数を求める方法としては、以下の2つのアプローチがあります。
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対を成して最大公約数を求め、その結果を使う方法
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ユークリッドの互除法を使った方法
1. 対を成して最大公約数を求める方法
まず、三つの数を与えられたとき、それらの数に対して2つずつ最大公約数を求め、最後に残った2つの数で再度最大公約数を求めます。
例えば、三つの数「36」「60」「48」の最大公約数を求めるとします。
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最初に、36と60の最大公約数を求めます。
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36の約数：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
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60の約数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
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共通の約数は「1, 2, 3, 4, 6, 12」で、最大のものは「12」です。
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次に、12と48の最大公約数を求めます。
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12の約数：1, 2, 3, 4, 6, 12
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48の約数：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
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共通の約数は「1, 2, 3, 4, 6, 12」で、最大のものは「12」です。
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したがって、36、60、48の最大公約数は「12」となります。
2. ユークリッドの互除法を使った方法
ユークリッドの互除法は、最大公約数を求める効率的な方法の一つで、2つの数に対して適用できます。三つの数に対しては、この方法を段階的に適用することができます。
ユークリッドの互除法の手順は次の通りです：
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2つの数を割り算し、余りを求めます。
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余りが0でない場合、余りと前の数で再度割り算を行います。
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余りが0になったとき、割った数が最大公約数です。
これを三つの数に適用する方法は次のようになります。
例えば、再度「36」「60」「48」の最大公約数を求める場合：
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最初に、36と60で互除法を適用します。
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60 ÷ 36 = 1（余り24）
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36 ÷ 24 = 1（余り12）
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24 ÷ 12 = 2（余り0）
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余りが0になったので、36と60の最大公約数は「12」となります。
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次に、12と48で互除法を適用します。
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48 ÷ 12 = 4（余り0）
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余りが0なので、12と48の最大公約数も「12」となります。
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これにより、36、60、48の最大公約数は「12」であることが確認できます。
最大公約数を求める際の注意点
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互除法を使う場合の効率性：ユークリッドの互除法は、非常に効率的に最大公約数を求める方法です。手計算でも早く解ける場合が多く、特に数が大きくなるほど有効です。
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数が1の場合：もし三つの数が互いに素な数（最大公約数が1）であれば、最大公約数は「1」となります。
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計算機の使用：手計算で大きな数の最大公約数を求める場合、計算ミスを防ぐために電卓やプログラムを使うこともあります。特に、数が大きくなると手計算は非常に手間がかかりますので、ツールを使うのも一つの方法です。
結論
三つの数の最大公約数を求める方法としては、2つの数の最大公約数を順に求めていく方法と、ユークリッドの互除法を利用する方法があります。いずれの方法も有効であり、問題の規模や個々の状況に応じて使い分けることが重要です。最大公約数を求めることで、数の関係性や共通点を理解し、数学的な問題を効率的に解決することができます。