乗法と除法による不等式解法

「乗法と除法による不等式の解法」

不等式は、数学において大小関係を表す式であり、通常「＞」「＜」「≥」「≤」の記号を使用して表現されます。例えば、「x ＞ 3」や「y ≤ 5」などです。不等式の解法は、方程式の解法と似ていますが、いくつかの重要な違いがあります。特に、乗法や除法を行う際に注意が必要です。本記事では、不等式における乗法と除法の解法について、詳細に説明します。

1. 不等式の基本

不等式は、方程式と同様に「変数」の解を求めるものですが、解の範囲を表す点で異なります。例えば、「x ＞ 3」という不等式は、「x」が3より大きい値を取ることを意味します。不等式の解法では、特に解の範囲を示すために、数直線や集合記号を使って表現することがあります。

不等式の解法は次の3つの主要な操作で進められます：

1. 加減算：不等式の両辺に同じ数を足したり引いたりする。

2. 乗法と除法：不等式の両辺に同じ数を掛けたり割ったりする。ただし、注意点があります。

2. 乗法による不等式の解法

不等式の両辺に同じ数を掛ける場合、通常は不等式の向きは変わりませんが、ある条件下で向きが逆転します。この違いは、掛ける数の符号（正負）に依存します。

(1) 正の数で乗法

不等式の両辺に正の数を掛ける場合、不等式の向きは変わりません。

例：

x ＞ 3 の場合、両辺に2を掛けると、次のように変化します：

$$x \times 2 ＞ 3 \times 2$$
$$2x ＞ 6$$

この場合、乗法後も不等式の向きはそのままで、「2x ＞ 6」という結果になります。

(2) 負の数で乗法

不等式の両辺に負の数を掛ける場合、不等式の向きは逆転します。この点が不等式を解く際の重要な注意点です。

例：

x ＜ 3 の場合、両辺に-2を掛けると、次のように変化します：

$$x \times (-2) ＜ 3 \times (-2)$$
$$-2x ＞ -6$$

この場合、負の数で掛けたため、不等式の向きが逆転して「-2x ＞ -6」となります。これが乗法による不等式解法のポイントです。

3. 除法による不等式の解法

除法に関しても、乗法と同じように符号によって不等式の向きが変わることがあります。具体的には、除数が正の数の場合は不等式の向きは変わりませんが、除数が負の数の場合は不等式の向きが逆転します。

(1) 正の数で除法

不等式の両辺を正の数で割る場合、不等式の向きはそのまま保たれます。

例：

x ＞ 6 の場合、両辺を2で割ると、次のように変化します：

$$\frac{x}{2} ＞ \frac{6}{2}$$
$$\frac{x}{2} ＞ 3$$

このように、正の数で割る場合、不等式の向きは変わりません。

(2) 負の数で除法

不等式の両辺を負の数で割る場合、不等式の向きが逆転します。この点が除法の解法における重要なポイントです。

例：

x ＜ -4 の場合、両辺を-2で割ると、次のように変化します：

$$\frac{x}{-2} ＞ \frac{-4}{-2}$$
$$\frac{x}{-2} ＞ 2$$

負の数で割ったため、不等式の向きが逆転して「x / -2 ＞ 2」となります。

4. 不等式解法の例

ここで、乗法と除法を含む具体的な不等式の例を解いてみましょう。

(1) 例題 1

不等式：

$$-3x ＜ 9$$

解法：

まず、両辺を-3で割ることを考えます。しかし、このときは注意が必要です。-3で割ると不等式の向きが逆転します。

$$\frac{-3x}{-3} ＞ \frac{9}{-3}$$
$$x ＞ -3$$

したがって、この不等式の解は「x ＞ -3」です。

(2) 例題 2

不等式：

$$4x + 7 ≥ 15$$

解法：

まず、両辺から7を引きます：

$$4x ≥ 15 – 7$$
$$4x ≥ 8$$

次に、両辺を4で割ります。4は正の数なので、不等式の向きはそのままです：

$$x ≥ 2$$

したがって、この不等式の解は「x ≥ 2」です。

5. まとめ

不等式を解く際、乗法と除法に関しては次の2つの重要なポイントを覚えておくことが大切です：

1. 正の数で乗法や除法を行うと、不等式の向きは変わりません。

2. 負の数で乗法や除法を行うと、不等式の向きが逆転します。

不等式を解くことで、変数がどの範囲の値を取るかを明確に示すことができます。これにより、数値の関係や範囲を理解することができ、実生活の問題やさまざまな数学的課題を解決するために有効です。