代入法による方程式の解法

「代入法による方程式の解法」について、完全かつ包括的な日本語の記事を以下に記述します。

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代入法による方程式の解法

代入法（だいにゅうほう、英：Substitution Method）は、線形方程式系を解くための基本的な手法の一つです。この方法では、与えられた方程式のいずれか一つを他の方程式に代入し、最終的に未知数を解き明かします。主に連立方程式において使用されますが、非線形方程式でも応用可能です。この記事では、代入法を用いた方程式の解法について、基本的な理論から具体的な手順、さらに実際の例を通じて詳しく解説します。

1. 代入法の基本概念

代入法は、2つ以上の方程式からなる連立方程式を解く際に、1つの方程式の変数（例えば $x$）をもう一方の方程式に代入することで解を導きます。この方法は、まず1つの方程式から1つの変数を解き、それを他の方程式に代入して、別の変数を求めるというステップを踏むことによって解を求めます。

例えば、次のような2元連立方程式を考えます。

$$x + y = 10$$
$$2x – y = 3$$

ここで、代入法を使って解く手順を見ていきます。

2. 代入法の解法ステップ

代入法による解法は、以下のステップで行います。

ステップ1: 一つの方程式を選び、その方程式から一つの変数を解く。

この場合、最初の方程式 $x + y = 10$ から $y$ を解きます。

$$y = 10 – x$$

ステップ2: 解いた変数を他の方程式に代入する。

次に、先ほど求めた $y = 10 – x$ を、2つ目の方程式 $2x – y = 3$ に代入します。

$$2x – (10 – x) = 3$$

ステップ3: 新しい方程式を解いて、1つの変数の値を求める。

方程式を解きます。

$$2x – 10 + x = 3$$
$$3x – 10 = 3$$
$$3x = 13$$
$$x = \frac{13}{3}$$

ステップ4: 求めた値を元の方程式に代入して、もう一つの変数を解く。

次に、$x = \frac{13}{3}$ を最初の方程式 $x + y = 10$ に代入して、$y$ の値を求めます。

$$\frac{13}{3} + y = 10$$
$$y = 10 – \frac{13}{3}$$
$$y = \frac{30}{3} – \frac{13}{3}$$
$$y = \frac{17}{3}$$

したがって、解は

$$x = \frac{13}{3}, \quad y = \frac{17}{3}$$

となります。

3. 代入法の利点と注意点

代入法にはいくつかの利点と注意点があります。

利点:

• 代入法は、方程式のどちらか一方を簡単に変形して、他方に代入することで解くことができるため、場合によっては非常に簡便です。

• 1つの変数を明確に解くことで、計算が比較的簡単になります。

注意点:

• 方程式の変数が複雑な場合や、係数が大きい場合、計算ミスが生じやすくなります。そのため、計算を正確に行うことが重要です。

• 代入法は、連立方程式が複数の解を持つ場合にも適用可能ですが、解が整数や有理数でない場合には分数や小数の計算が発生することがあります。これは注意深く計算を行う必要があることを意味します。

4. 代入法を用いた実際の例

さらにもう一つ例を見てみましょう。

方程式：

$$x + 2y = 6$$
$$3x – y = 7$$

ステップ1: 最初の方程式から $x$ を解きます。

$$x = 6 – 2y$$

ステップ2: これを2番目の方程式に代入します。

$$3(6 – 2y) – y = 7$$
$$18 – 6y – y = 7$$
$$18 – 7y = 7$$
$$-7y = -11$$
$$y = \frac{11}{7}$$

ステップ3: $y = \frac{11}{7}$ を最初の方程式に代入して $x$ を求めます。

$$x + 2 \times \frac{11}{7} = 6$$
$$x + \frac{22}{7} = 6$$
$$x = 6 – \frac{22}{7} = \frac{42}{7} – \frac{22}{7} = \frac{20}{7}$$

したがって、解は

$$x = \frac{20}{7}, \quad y = \frac{11}{7}$$

です。

5. まとめ

代入法は、連立方程式を解くためのシンプルで効率的な方法の一つです。方程式のうち一つから変数を解き、それを他の方程式に代入することで、残りの変数を求めることができます。この方法は特に、片方の方程式が他方の変数に対して簡単に解ける場合に有効です。しかし、計算に注意が必要で、特に分数や小数の扱いには細心の注意を払うことが求められます。

代入法をしっかりと習得することで、より複雑な方程式にも対応できるようになります。