平均絶対偏差の基礎

** الانحراف المتوسطについての完全かつ包括的な記事**

1. はじめに

統計学における「分散」や「標準偏差」などの指標は、データのばらつき具合を示すためによく使われますが、その一方で「平均からの偏差」を直感的に理解しやすい形で示すために「平均絶対偏差（MAD: Mean Absolute Deviation）」が用いられることがあります。この記事では、平均絶対偏差（MAD）について、その定義、計算方法、特徴、活用事例などを詳細に解説します。

2. 平均絶対偏差（MAD）の定義

平均絶対偏差は、データセットの各値がデータの平均（または中央値）からどれだけ離れているかを示す指標です。一般的に、「偏差」という言葉は、データポイントと平均値（または中央値）の差を指しますが、その差の絶対値を用いることで、正負の符号を無視し、データがどれほど散らばっているかをより正確に表現することができます。

3. 計算方法

平均絶対偏差（MAD）の計算手順は、以下のステップで行います。

1. データセットの平均を計算する。平均は次の式で求められます。

   $$\text{平均} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$

   ここで、$x_i$ はデータセット内の各データ点、$n$ はデータの総数です。

2. 各データ点と平均値の差を求め、その差の絶対値を取ります。すなわち、次の式を使用します。

   $$\left| x_i – \text{平均} \right|$$

   この絶対値の計算は、データ点が平均値からどれだけ離れているかを示します。

3. すべてのデータ点について絶対偏差を求めた後、それらの絶対偏差の平均を求めます。これが、平均絶対偏差（MAD）です。すなわち、次の式で計算されます。

   $$\text{MAD} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left| x_i – \text{平均} \right|$$

4. 平均絶対偏差の特徴

平均絶対偏差の特徴は、以下の通りです。

• 直感的な解釈が容易: 平均絶対偏差は、データが平均からどれだけ離れているかを絶対値で表現するため、標準偏差よりも直感的に理解しやすいです。特に、外れ値に敏感でないため、異常値が含まれるデータに対しても安定した結果を示すことができます。

• 外れ値の影響が少ない: 標準偏差は外れ値に対して非常に敏感であり、外れ値があるとその値が大きくなります。一方、平均絶対偏差は外れ値の影響を受けにくく、外れ値を無視してデータの分散を見積もることができます。

• 中央値と組み合わせることができる: 平均絶対偏差は中央値を基準にしても計算することができ、この場合は、データが歪んでいる場合にも頑健な指標として利用されます。

5. 平均絶対偏差の活用事例

平均絶対偏差は、以下のような場面で活用されています。

5.1 統計的解析におけるロバストな指標

データに外れ値が含まれている場合、平均絶対偏差はその影響を軽減するため、ロバストな指標として非常に有用です。例えば、金融市場の解析や品質管理において、データに異常値が含まれているときでも、MADを使用することで、より安定した分散の測定が可能になります。

5.2 データのばらつきの測定

データセットのばらつきを評価するために、MADは標準偏差とともに用いられます。特に、データのばらつきが少ない場合や、外れ値が存在する場合において、平均絶対偏差はばらつきの程度をより正確に反映します。

5.3 中央値との関係

中央値を基準にした場合の平均絶対偏差（MAD）は、「中央値絶対偏差（Median Absolute Deviation）」とも呼ばれ、特にデータの歪みが強い場合に使われます。この指標は、データが正規分布に従わない場合でも、ばらつきをより良く表現できるため、分布の形状が不明な場合でも信頼性があります。

6. 平均絶対偏差と標準偏差の比較

平均絶対偏差（MAD）と標準偏差は、どちらもデータのばらつきを示す指標ですが、その計算方法と特性には違いがあります。

• 計算方法の違い: 標準偏差は偏差の2乗を取って平均を求め、さらに平方根を取ります。これにより、外れ値の影響が大きくなります。一方、MADは偏差の絶対値を求め、これに基づいて計算されます。

• ロバスト性: MADは外れ値の影響を受けにくいため、外れ値が存在する場合でも、より信頼性のあるばらつきの指標となります。

• 解釈の簡便さ: MADは直感的に解釈しやすく、データのばらつき具合を簡単に理解することができます。標準偏差は数学的により複雑で、平方根を取る過程があるため、理解するためには少しだけ追加の知識が必要です。

7. まとめ

平均絶対偏差（MAD）は、データのばらつきを測定するための有効な手段です。特に、外れ値に敏感ではないため、外れ値が存在するデータに対して頑健な結果を提供します。これにより、統計解析や品質管理、リスク分析などの分野で広く使用されています。MADは、直感的に解釈しやすく、また、中央値との組み合わせによっても利用されるため、データセットの特徴に応じて柔軟に活用できる指標です。