平方完成法による解法

二次方程式を解く方法の一つとして、「平方完成法」があります。平方完成法は、二次方程式を解くための古典的かつ重要な技法で、特に因数分解が難しい場合に有効です。この記事では、平方完成法の概念とその手順について詳しく解説します。

1. 平方完成法とは？

平方完成法は、二次方程式を「完全な平方」の形に変形し、それによって解を求める方法です。二次方程式は一般的に以下のような形をしています：

$$ax^2 + bx + c = 0$$

ここで、$a$、$b$、$c$ は定数であり、$a \neq 0$ です。平方完成法は、この形を「平方の形」に変換することで解を求めます。

2. 平方完成法の手順

次に、平方完成法を用いて二次方程式を解く手順を示します。まず、二次方程式を次の形に変形します：

$$ax^2 + bx + c = 0$$

ステップ 1: 係数を調整する

まず、$x^2$ の前の係数 $a$ を 1 にするために、方程式全体を $a$ で割ります。もし $a$ が 1 であれば、このステップは不要です。

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$$

ステップ 2: 定数項を移項する

次に、方程式の右辺に定数項を移します。この時、式の左辺には $x^2$ と $x$ の項が残ります。

$$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$$

ステップ 3: 完全な平方を作る

次に、左辺を完全な平方にするために必要な値を加えます。このためには、$x^2 + \frac{b}{a}x$ の中で、$x$ の係数 $\frac{b}{a}$ の半分の値を二乗したものを足します。この値は次のように計算できます：

$$\left( \frac{b}{2a} \right)^2$$

これを方程式の両辺に加えます。すると、左辺が完全な平方の形になります。

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right)^2$$

ステップ 4: 左辺を平方の形にする

左辺は、次のように因数分解することができます：

$$\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2$$

右辺は、計算して簡単に表すことができます。これで、方程式は次の形になりました：

$$\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 – 4ac}{4a^2}$$

ステップ 5: 両辺の平方根を取る

次に、両辺の平方根を取ります。平方根を取る際には、正負の両方の解を考慮しなければなりません。

$$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

ステップ 6: 解を求める

最後に、$x$ を求めるために、$\frac{b}{2a}$ を右辺に移項します。

$$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

これが二次方程式の解です。最終的に、解は次のように表されます：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

3. 平方完成法の例

実際の例を使って、平方完成法を適用してみましょう。次の二次方程式を解いてみます：

$$2x^2 + 8x – 10 = 0$$

ステップ 1: $x^2$ の係数を 1 にする

まず、方程式全体を 2 で割って、$x^2$ の係数を 1 にします：

$$x^2 + 4x – 5 = 0$$

ステップ 2: 定数項を移項する

定数項 $-5$ を右辺に移項します：

$$x^2 + 4x = 5$$

ステップ 3: 完全な平方を作る

次に、$x^2 + 4x$ に対して完全な平方を作ります。係数 4 の半分は 2 で、2 の二乗は 4 です。これを方程式の両辺に加えます：

$$x^2 + 4x + 4 = 5 + 4$$

ステップ 4: 左辺を平方の形にする

左辺は次のように因数分解できます：

$$(x + 2)^2 = 9$$

ステップ 5: 両辺の平方根を取る

両辺の平方根を取ります：

$$x + 2 = \pm 3$$

ステップ 6: 解を求める

最後に、$x$ を求めるために $-2$ を移項します：

$$x = -2 \pm 3$$

これにより、二つの解が得られます：

$$x = 1 \quad \text{または} \quad x = -5$$

4. まとめ

平方完成法は、二次方程式を解くための強力な手法です。特に因数分解が難しい場合に役立ちます。平方完成法を使うことで、解の公式（解の公式を使う方法）を導き出すことができます。手順をしっかりと理解し、実際に問題を解くことで、平方完成法の使い方を身につけましょう。