統計の代表値と計算方法

統計における代表値：最頻値、中央値、算術平均、範囲の完全ガイド

統計学において、データ集合の特徴を簡潔に表現するためには、代表値と呼ばれる値を用いることが不可欠である。代表値には様々な種類があり、それぞれ異なる側面からデータを要約する。この記事では、最頻値（モード）、中央値（メディアン）、算術平均（平均値、アリスメティックミーン）、および**範囲（レンジ）**という代表的な統計量について、理論的な解説とともに多くの具体的な例題を交えて、完全かつ包括的に解説する。

最頻値（モード）

定義

最頻値とは、データの中で最も頻繁に出現する値である。複数の最頻値が存在する場合もあり、データ集合は単峰（モードが1つ）、双峰（モードが2つ）、**多峰（モードが3つ以上）**と分類される。

特徴

• 名義尺度（カテゴリーデータ）にも使用可能

• 外れ値の影響を受けにくい

• 存在しない場合もある（全ての値が一度ずつ出現する）

例題

例1：

次のデータにおける最頻値を求めよ。

3, 7, 5, 3, 9, 5, 3

解答：

3が3回出現し、他の値より多いため、最頻値 = 3

例2：

4, 4, 6, 6, 7, 8

解答：

4と6が同じ頻度（2回ずつ）で最も多く出現しているため、最頻値 = 4, 6（双峰分布）

中央値（メディアン）

定義

中央値とは、データを小さい順に並べた際に中央に位置する値である。データ数が奇数なら中央の値、偶数なら中央の2値の平均をとる。

特徴

• 順序尺度以上で使用可能

• 外れ値の影響を受けにくい

• 分布の中心を反映するが、頻度には無関係

例題

例1（奇数個のデータ）：

8, 3, 5, 9, 1

手順：

昇順に並べる → 1, 3, 5, 8, 9

中央の値 → 中央値 = 5

例2（偶数個のデータ）：

10, 4, 6, 8

手順：

昇順に並べる → 4, 6, 8, 10

中央の2つの平均 → (6 + 8) / 2 = 中央値 = 7

算術平均（アリスメティック・ミーン）

定義

算術平均とは、全てのデータの合計をデータの個数で割った値である。

$$\text{平均} = \frac{\text{データの合計}}{\text{データの個数}}$$

特徴

• 間隔尺度や比率尺度に使用可能

• 外れ値の影響を大きく受ける

• データ全体の重心を示す

例題

例1：

5, 8, 7, 6, 9

$$\text{合計} = 5 + 8 + 7 + 6 + 9 = 35 \text{個数} = 5 \text{平均} = \frac{35}{5} = 7$$

例2（外れ値を含む）：

4, 5, 6, 100

$$\text{合計} = 115, \quad \text{個数} = 4 \Rightarrow \text{平均} = \frac{115}{4} = 28.75$$

→ 明らかに他の値に比べて100が突出しており、平均が大きく引き上げられている。

範囲（レンジ）

定義

範囲とは、最大値と最小値の差である。

$$\text{範囲} = \text{最大値} – \text{最小値}$$

特徴

• データのばらつきを簡単に示す

• 外れ値の影響を強く受ける

• 分布の全体的な広がりを示す

例題

例：

3, 8, 2, 10, 6

最大値 = 10、最小値 = 2

範囲 = 10 − 2 = 8

総合演習問題

問題1：

次のデータに対して、最頻値、中央値、平均、範囲を求めよ。

4, 6, 6, 8, 10, 12, 14

解答：

• 最頻値 = 6（2回出現）

• 昇順に並んでいるため、中央値 = 8（中央の値）

• 合計 = 4 + 6 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 60 → 平均 = 60 / 7 ≈ 8.57

• 範囲 = 14 − 4 = 10

問題2：

15, 20, 25, 20, 15, 25, 30

• 最頻値 = 15, 20, 25（全て2回出現 → 多峰分布）

• 並び替え → 15, 15, 20, 20, 25, 25, 30 → 中央値 = 20

• 合計 = 150 → 平均 = 150 / 7 ≈ 21.43

• 範囲 = 30 − 15 = 15

表：代表値の比較

実生活における活用例

教育現場

• 平均点：クラス全体の学力傾向を把握するために平均点を算出。

• 中央値：外れ値（極端に低い点や高い点）を排除して、一般的な傾向を見る。

• 最頻値：最も多く選ばれた回答や成績分布の中心を見る際に有効。

医療

• 体温の平均値：集団における健康状態を判断。

• 中央値の寿命：外れ値の影響を排除した実質的な寿命中央値を用いることがある。

経済

• 所得の中央値：所得格差の実態把握に重要。

• 最頻値価格：マーケティング分析で最も売れている価格帯を見つける。

統計教育への提言

教育において、代表値の学習はデータリテラシーの根幹である。特に近年の情報社会では、あらゆる分野でデータの分析と解釈が求められているため、小・中・高等学校において段階的に以下のように学ぶべきである。

1. 小学校段階： 絵や表を使って最頻値・中央値の意味を体験的に学ぶ。

2. 中学校段階： 実際の数値データを用いて手計算で平均や範囲の理解を深める。

3. 高等学校段階： 外れ値、標準偏差、分散との関係まで踏み込んだ応用分析を行う。

結論

最頻値、中央値、算術平均、範囲は、単なる数学的指標ではなく、現実の世界を理解するための有力な道具である。それぞれの指標はデータの異なる側面を反映し、状況に応じた使い分けが求められる。単に計算するだけでなく、どのような場面で、どの指標が最も適しているかを判断する力が、統計的リテラシーにおいて極めて重要である。

参考文献：

1. 文部科学省「学習指導要領（数学）」

2. 日本統計学会『統計学入門』

3. 渡辺美智子『統計の基本と応用』朝倉書店

4. 矢野健太郎『統計のはなし』講談社ブルーバックス

5. OECD（2018）”The Future of Education and Skills: Education 2030″