2階同次微分方程式の解法

線形同次2階常微分方程式の解法に関する包括的解説

線形同次2階常微分方程式は、数学、物理学、工学における多くの現象を記述するための重要な道具であり、振動、回路理論、構造力学などに頻繁に登場する。この記事では、線形同次2階常微分方程式の基本的な性質、解法、特徴的なケースの分類、および具体的な例を通して、包括的かつ詳細にその理解を深めることを目的とする。

1. 線形同次2階常微分方程式の一般形

線形同次2階常微分方程式は次の形で表される：

$$a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0$$

ここで、$a, b, c$ は定数であり、$a \neq 0$ とする。この方程式は2階であり、関数 $y(x)$ の2階導関数を含んでいる。

2. 解法の基本戦略：特性方程式

この種の微分方程式を解くための標準的な方法は、解を指数関数形 $y = e^{rx}$ と仮定することである。この仮定を元の微分方程式に代入すると、次のような代数方程式が得られる：

$$ar^2 + br + c = 0$$

これを**特性方程式（補助方程式）**という。この2次方程式の解 $r$ によって、微分方程式の一般解の形が分類される。

3. 特性方程式の判別式による分類

特性方程式の判別式 $D = b^2 – 4ac$ の値によって、解の形が次の3つのケースに分類される。

3.1 異なる実数解をもつ場合（$D > 0$）

この場合、特性方程式は異なる2つの実数解 $r_1$, $r_2$ を持ち、一般解は次のようになる：

$$y(x) = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x}$$

ここで $C_1$ および $C_2$ は任意定数であり、初期条件によって決定される。

3.2 重解をもつ場合（$D = 0$）

重解 $r$ を持つ場合、特性方程式は1つの実数解しかもたず、一般解は次の形になる：

$$y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{rx}$$

これは、重解の存在により単一の指数関数では線形独立な解が不足するため、補完的な解 $x e^{rx}$ を加えることで2次元の解空間を形成する。

3.3 共役な複素数解をもつ場合（$D < 0$）

特性方程式が共役な複素数解 $r = \alpha \pm i\beta$ を持つ場合、一般解はオイラーの公式を用いて次のように表される：

$$y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$$

この形式は、減衰振動や交流電流のような振動系においてしばしば登場する。

4. 初期条件による定数の決定

多くの場合、方程式に対して初期条件が与えられる。たとえば、

$$y(0) = y_0, \quad y'(0) = y_1$$

このとき、一般解を微分して代入することで、定数 $C_1$, $C_2$ を求めることができる。

5. 実践例と解析

以下に具体的な例を用いて解法を実演する。

例題1：$y” – 3y’ + 2y = 0$

ステップ1：特性方程式の導出

$$r^2 – 3r + 2 = 0 \Rightarrow (r – 1)(r – 2) = 0 \Rightarrow r = 1, 2$$

ステップ2：一般解の導出

$$y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$$

例題2：$y” + 4y = 0$

ステップ1：特性方程式

$$r^2 + 4 = 0 \Rightarrow r = \pm 2i$$

ステップ2：一般解

$$y(x) = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x$$

この方程式は単純な振動運動（単振動）を表し、機械工学や波動理論に応用される。

6. 線形独立性と一般解の妥当性

解が一般解であるためには、2つの解 $y_1(x), y_2(x)$ が線形独立である必要がある。そのための判定法として、**ロンスキー行列式（Wronskian）**が使用される：

$$W(y_1, y_2)(x) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\ y_1′(x) & y_2′(x) \end{vmatrix}$$

この行列式がある点で0でなければ、解は線形独立であり、一般解を構成する。

7. 線形性の原理と重ね合わせの原理

この方程式は線形かつ同次であるため、任意の解の線形結合もまた解となる。この性質を重ね合わせの原理という。よって、特定解が2つ得られれば、その線形結合であるすべての関数が一般解に含まれる。

8. 行列表現と線形代数的視点

この問題を線形代数的にとらえると、微分方程式はベクトル空間上の線形変換として理解できる。特に、2次元の線形常微分方程式系として表現し、行列の指数関数 $e^{At}$ を用いて解くことも可能である。この視点は、システム理論や制御理論において重要である。

9. コンピュータによる数値解法の視点

解析的な解が得られない、あるいは係数が変数依存のより複雑な方程式においては、数値的アプローチ（オイラー法、ルンゲ＝クッタ法など）を用いることが一般的である。これらの方法は近似解を高精度で計算可能であり、実用的な問題解決に不可欠である。

10. 実応用における重要性

線形同次2階常微分方程式は、以下のような場面で利用される：

11. 教育と研究における役割

この方程式の理解は、微分方程式論や応用数学の基礎中の基礎である。大学の初年度または2年次に学習されることが多く、数学、物理、工学系の学問の基盤を形成する。さらに、非線形系や偏微分方程式への応用に向けた出発点としても位置付けられている。

12. まとめと今後の展望

線形同次2階常微分方程式は、その簡潔な形式にもかかわらず、非常に豊富な数学的構造と広範な応用を持つ。その解法の理解は、抽象的な数学的思考と、現実世界の問題への応用力の両方を涵養する。将来的には、数値計算技術の進展とともに、より複雑な非線形方程式や実時間システムの解析へとつながる研究が進展していくであろう。

参考文献

1. Boyce, W.E. & DiPrima, R.C., Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Wiley.

2. 岡本和夫『微分方程式入門』、岩波書店。

3. 森正武『数値解析』、共立出版。

4. 河合秀夫『微分方程式講義』、培風館。

日本の読者にとって本稿が理解と応用の一助となることを願う。常に理論と実践をつなげる視点を持ち、微分方程式の力を最大限に活用してほしい。