二元連立方程式の解法

「解くべき2つの方程式」という問題について、数学的なアプローチで詳細に解説いたします。

まず、1つの問題として、2つの線形方程式が与えられた場合、これを解く方法について説明します。具体的な例を使い、システマティックに解法を進めていきます。

1. 方程式の設定

考えるべき問題は以下の2つの線形方程式です。

$$a_1x + b_1y = c_1 \tag{1}$$
$$a_2x + b_2y = c_2 \tag{2}$$

ここで、$a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ は既知の定数であり、$x$ と $y$ は求めるべき未知数です。このような2つの方程式を解くことによって、$x$ と $y$ の値を求めることができます。

2. 解法の選択肢

2つの方程式を解く方法として、以下のような主な方法があります。

2.1 加減法（代入法）

加減法では、2つの方程式のどちらかを加算または減算して、1つの未知数を消去し、残りの未知数を求めます。これを以下に示す手順で進めます。

まず、方程式(1)と(2)を加算または減算して、1つの未知数を消去します。ここでは、$x$を消去する例を考えます。方程式(1)と(2)の両方に含まれている$x$の係数を揃えるように操作します。

例えば、次のように係数を揃えることができます。

$$a_1x + b_1y = c_1 \tag{1}$$
$$a_2x + b_2y = c_2 \tag{2}$$

この状態で、例えば方程式(1)を$a_2$倍、方程式(2)を$a_1$倍することで、$x$の係数が揃います。その後、引き算を行い、$y$を求めることができます。

2.2 代入法

代入法では、一方の方程式から1つの未知数を表現し、それを他方の方程式に代入して解を求めます。たとえば、方程式(1)から$x$を解いて、それを方程式(2)に代入します。

方程式(1)から$x$を解くと、

$$x = \frac{c_1 – b_1y}{a_1} \tag{3}$$

次に、この式(3)を方程式(2)に代入します。

$$a_2\left(\frac{c_1 – b_1y}{a_1}\right) + b_2y = c_2$$

これを解くことによって、$y$を求めることができます。そして、求めた$y$の値を式(3)に代入することで、$x$の値も得られます。

2.3 行列を用いた解法

行列を用いる方法は、線形代数に基づく方法です。2つの線形方程式を行列形式で表現すると、次のようになります。

$$\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}$$

この行列方程式を解くには、行列の逆行列を用います。行列の逆行列が存在する場合、次のようにして解を得ることができます。

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}$$

行列の逆行列を計算するためには、まず行列の行列式（determinant）を求め、その逆行列を計算します。

3. 解の存在と一意性

2つの線形方程式が与えられた場合、解が存在するかどうか、またその解が一意かどうかは、行列の行列式を使って判断できます。

行列式が0でない場合、解は一意で存在します。逆に、行列式が0の場合、解が無限に多くなるか、解が存在しないことになります。

3.1 行列式

行列式は次のように計算できます。

$$\text{det}\left(\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}\right) = a_1b_2 – a_2b_1$$

もし、この行列式がゼロであれば、2つの方程式は直線的に依存していることになり、解が一意に決まらないか、解が存在しないことになります。

4. 実際の計算例

例えば、次の2つの方程式を解くとします。

$$2x + 3y = 5 \tag{1}$$
$$4x – y = 3 \tag{2}$$

加減法を使用して解いてみましょう。まず、方程式(1)を2倍し、方程式(2)と引き算を行います。

$$4x + 6y = 10 \tag{1′}$$
$$4x – y = 3 \tag{2}$$

次に、(1′)から(2)を引き算します。

$$(4x + 6y) – (4x – y) = 10 – 3$$

これを計算すると、

$$7y = 7$$

よって、$y = 1$です。

次に、$y = 1$を方程式(2)に代入します。

$$4x – 1 = 3$$

これを解くと、$x = 1$となります。

したがって、解は$x = 1$および$y = 1$です。

結論

2つの線形方程式を解く方法には、加減法、代入法、行列法の3つの主な方法があります。それぞれの方法には利点があり、問題によって最適な方法を選択することが重要です。また、解の存在や一意性についても、行列の行列式を利用することで簡単に判断できます。