線形方程式の解法方法

線形方程式は、最も基本的な代数の概念の一つであり、特に2つの変数（未知数）を含む線形方程式は、日常的な数学や科学の問題解決に広く使用されます。この記事では、2つの変数を含む線形方程式の解法について、詳細に説明します。

線形方程式の定義

2つの変数 $x$ と $y$ を含む線形方程式の一般的な形は次の通りです：

$$ax + by = c$$

ここで、$a$、$b$、$c$ は定数であり、$x$ と $y$ は解を求める未知数です。この方程式は、平面上の直線を表します。線形方程式を解く目的は、与えられた方程式が満たす $x$ と $y$ の値を求めることです。

線形方程式の解法

2つの未知数を含む線形方程式を解くための基本的な方法には、代入法と加減法の2つがあります。それぞれの方法について詳しく説明します。

1. 代入法

代入法は、一方の方程式から一つの変数を解き、それをもう一方の方程式に代入する方法です。以下に、代入法を使って線形方程式を解く例を示します。

例として、次の2つの方程式を考えます：

$$1) \quad 2x + 3y = 12$$
$$2) \quad x – y = 3$$

まず、方程式 (2) を $x = y + 3$ として解きます。そして、この式を方程式 (1) に代入します。

代入すると、次のようになります：

$$2(y + 3) + 3y = 12$$

これを展開すると：

$$2y + 6 + 3y = 12$$

次に、同じ種類の項をまとめます：

$$5y + 6 = 12$$

さらに、6を移項して：

$$5y = 6$$

最後に、両辺を5で割って：

$$y = \frac{6}{5}$$

次に、この $y$ の値を $x = y + 3$ に代入して、$x$ を求めます：

$$x = \frac{6}{5} + 3 = \frac{6}{5} + \frac{15}{5} = \frac{21}{5}$$

したがって、解は次の通りです：

$$x = \frac{21}{5}, \quad y = \frac{6}{5}$$

2. 加減法

加減法は、2つの方程式を足し合わせるか引き算することで、1つの変数を消去して解く方法です。以下に加減法を使って線形方程式を解く例を示します。

次の方程式を考えます：

$$1) \quad 3x + 4y = 10$$
$$2) \quad 2x – y = 1$$

まず、方程式 (2) を $y$ の係数を一致させるために、2倍します。そうすると：

$$2) \quad 4x – 2y = 2$$

次に、方程式 (1) と (2) を加算します：

$$(3x + 4y) + (4x – 2y) = 10 + 2$$

これを計算すると：

$$7x + 2y = 12$$

次に、$y$ を消去します。これを行うには方程式 (1) と (2) を適切に操作します。この方法によってxとyを求められる